TIPOS DE LOGICA

Podemos clasificar los tipos de lógica desde dos puntos de vista, la lógica clásica y la moderna. Sin embargo dicha clasificación sólo sirve para efectos históricos, de ahí que mejor proponemos dividir, los distintos tipos de lógica, respecto a los objetos que trata.

La Lógica Formal

 
Es conocida también como lógica clásica o aristotélica, Se imputa al filosofo ARISTOTELES ser el creador de la misma, aunque ya existían antecedentes en PARMENIDES y ZELEO.. Así mismo con el paso del tiempo, con la evolución de algunas corrientes matemáticas, específicamente las aportaciones realizadas por los matemáticos EULER y BOOLE, a la álgebra, se da inicio a la Lógica Moderna, Matemática, Simbólica o Logística.

De esta lógica moderna, se desprende la semiótica, lógica deóntica, modal, cuantificacional y proposicional.

 

ARISTOTELES

PARMENIDES

La Semiótica

es la lógica de los símbolos y se divide en tres partes: sintaxis, semántica y pragmática. La primera trata de las relaciones de los símbolos entre si, prescindiendo de su contenido. La segunda trata de las relaciones entre el símbolo y lo que significa. La tercera trata de las relaciones entre el símbolo y el sujeto que lo utiliza.

La lógica deóntica

Se formaliza a través de conceptos relacionados con el deber. Este tipo de lógica se utiliza en el Derecho, infiriéndose del mismo, la denominada lógica de las normas.

La lógica modal

Hace en los conceptos de necesidad y posibilidad.

La lógica de clases

relaciona conceptos con propiedades (sujeto y predicado), estudia además las implicaciones de unas clases con otras, las cuales suelen ser representados gráficamente mediante círculos (mejor conocidos como diagramas de Venn) empleando la denominada “álgebra booleana”.

La lógica cuantificacional

que estudia de manera más detallada los predicados a través del uso de cuantificadores que expresan cantidad (todos ∀ o algunos ∃).

La lógica proposicional

analiza los razonamientos formalmente válidos partiendo de proposiciones y conectivas proposicionales (operadores lógicos).

Lógica simbólica

de la que nos estamos refiriendo, emplea un lenguaje artificial en la que simboliza las proposiciones generalmente con las letras p, q, r, s, t utilizando de operadores lógicos, también llamados conectores, functores, juntores, para poder construir formulas operando sobre las variables proposicionales y las proposiciones complejas.

Finalmente existe otro tipo de lógica que es la dialéctica, aunque ésta no la podemos considerar como integrante de la lógica moderna, toda vez que la misma no tiene un contenido formal, sino ideológico; ni es “pasiva” como la lógica formal, sino que es activa, al obtener principios racionales a través de la interpretación de la historia, utilizando como su estructura en su discurso, la tesis, seguida de la antitesis y su respectiva conclusión denominada síntesis; teniendo sus antecedentes desde los griegos con SOCRATES y PLATÓN quienes la concibieron como una técnica de discusión y de obtención de conclusiones, siendo la misma también estudiada y empleada por algunos filósofos como KANT, HEGEL, MARX, entre otros más.

Leyes de la Lógica

Las leyes lógicas, son proposiciones universales, necesarias, evidentes y verdaderas. Dichas leyes son cuatro, el principio de identidad, el de contradicción, el de tercero excluido y el de razón suficiente.

El principio de identidad nos dice que una cosa es idéntica a si misma, lo que es, es; lo que no es, no es:

A es A, o no A es no A

El principio de contradicción nos dice que es imposible afirmar y negar que una cosa es y no es al mismo tiempo y bajo la misma circunstancia.

A no es no A

O bien, también puede enunciarse que dos proposiciones contradictorias no pueden ser a la vez verdaderas

El principio de tercero excluso nos dice que una cosa es o no es, no cabe un término medio:

A es B, o A no es B.

O bien, también puede enunciarse como no hay medio entre dos proposiciones contradictorias

El principio de razón suficiente nos señala que todo ser tiene una razón de ser, es decir, una razón suficiente que lo explique:

A es la razón de B

Lógica de primer orden

El alfabeto L de la lógica de primer orden es un conjunto que contiene los siguientes tipos de símbolos:

• Símbolos de predicados o símbolos de relaciones n-arias: Son símbolos que corresponden a funciones (reciben argumentos) que 'predican' algo acerca de un(os) referente(s). Corresponden a afirmaciones. Ej: C(x) abrevia 'x es calvo', y es una función unaria (recibe sólo una entrada); D(y, z) abrevia 'y le debe dinero a z' y es una función binaria; R(x) abrevia 'x es rico' y es unaria; H(a,b,d) abrevia 'a y b se casaron en el lugar c' y es trinaria. En general, la relación R(X1, X2, ..., Xk) es una relación k-aria. Aquí, D, R y H se llaman símbolos de relación y estos símbolos son los elementos de L, no las funciones.
• Símbolos de Función n-aria: Son símbolos que corresponden a funciones que denotan cosas únicas, en función de sus argumentos. Note que difieren de los predicados ya que no simbolizan fórmulas, sino términos ('cosas'). Ej: P(w) abrevia 'el padre de w' ; D(v) abrevia 'la edad de v'. Note que H(x) (el hijo de x) no es función, ya que no precisa necesariamente un único objeto determinado, sino que es ambiguo.
• Variables: x, y, z, w, x1, x2, ...(principalmente). Se refieren a objetos indeterminados.
• Constantes: a, b, c, a1, a2, a3, ... Se refieren a objetos determinados, particulares (p.ej., n denota a Nicolás: S denota a Sócrates).
• Cuantificadores: (existe), (para todo).
• Conectivos lógicos: (No), (o), (y), (implica), (equivale/si y solo si).
• Igualdad, comas y paréntesis: = , , , ( , ).

Así, el conjunto A definido arriba es de la forma:
A = { R1, R2, ..., f1, f2, ..., x, y, z, w, x1, x2, ..., a, b, c, a1, a2, ..., , ,,, ,,, =, (, )}, donde las R's son símbolos de relación, y los f's son símbolos de función. Al especificar un alfabeto A, debe también especificarse la aridad de cada relación y de cada función. Esto puede hacerse con una función Aridad Ar con dominio {R1, R2, ..., f1, f2, ...} e imagen los números naturales (a cada símbolo le asigna su aridad).

lógica proposicional

El cálculo proposicional es también llamado, lógica proposicional, calculo sentencial, álgebra Booleana. El cálculo proposicional, junta dos cálculos de predicados con la constitución de símbolos lógicos.

La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia las formas en que se relacionan unas proposiciones con otras y, sobre todo, la relación que se da entre las proposiciones que componen un razonamiento.

Proposiciones

Las proposiciones son definidas, apenas “como un pensamiento completo”. Para nuestro propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia.

Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningún valor. Una proposición es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son: premisas y conclusiones de una proposición. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad.

Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,…, para expresar proposiciones.

En General, la logica Matematica estudia dos valores de expresiones: convencionalmente, los valores son llamados Verdad y Falso de su origen en el estudio de Filosofia, pero estos son arbitarios y prodrian llamarse valores calores 0 y 1. Cuando se da alguna sentencia nosotro asignamos los valores de verdad o falso. El estudio de la logica comienza con el estudio del calculo proposional cuyas sentencias son construidas de proposion atomica, las cuales son sentencias que no tienen structura interna.

Las proposiciones pueden ser combinadas usando operadores boleanos. Estos operadores tienen nonbres convencionales tales como Y, O e implica, pero ellos tienen un significado formal. El operador boleano Y es definido como el operador que da el valor verdad si y solo si, las expresiones a evaluar son verdaderas.

Las formulas de calculo proposicional son definidas por reglas sintacticas, y su significado(Semantico) es asociado con cada formula por la definicion de interpretacion a la cual se asigna una regla verdadera o falsa para cada formula. La sintaxis es tambien usada para definir el concepto de prueba, la manipulacion de simbolica de formulas en orden para deducir un teorema. El resultado teorico central que damos es que el conjunto de formulas provables son las mismas como el conjunto de formulas las cuales son siempre verdaderas.

El calculo proposicional puede ser aplicado a computadoras por que las computadoras digitales trabajan con dos niveles de voltajes que son arbitrariamente asignados por los simbolos 0 y 1. Los circuitos son describidos por ideales elementos llamados puertas logicas.

LENGUAJE PREDICATIVO

El lenguaje de predicados de primer orden se caracteriza por extender la lógica proposicional. Destaca tanto por los elementos de las sentencias que forman parte de los argumentos como por la estructura de éstos, en donde lo más importante son los individuos que intervienen y los predicados que les afectan.

Antes de entrar en profundidad, veamos un ejemplo que hicimos en clase, el cual nos muestra que el lenguaje de predicados es muy importante, puesto que amplía nuestras posibilidades de formalizacion de sentencias.

P1: Todos los hombre son mortales
P2: Sócrates es mortal
Q: Sócrates es un hombre

En este caso en concreto, el argumento es correcto, pero no hay forma de hallar relación entre las premisas y la conclusión, mientras que en el lenguaje de predicados, es muy acertivo formalizar el anterior argumento.

Marco Conceptual:
H(x) x es hombre
M(x) x es mortal
s : Sócrates

P1: ∀x[H(x) → M(x)]
P2: M(s)
Q: H(s)

El lenguaje de predicados utiliza:

TERMINOS:

Utiliza Constantes y variables y se supone definido un dominio no vacío en el cual toman valores. Pueden ser:
Constantes (a, b, c,): Designan nombre a objetos concretos del dominio
Variables (x, y, z): Representan objetos cualesquiera del Universo u objetos desconocidos en ese momento.

PREDICADOS:

Se utilizan para expresar propiedades o relaciones entre los objetos. Pueden ser:
Monádicos: Expresan propiedades de los objetos
Ejemplo:
Mo(x): x es moreno
Constantes: juan
Juan es Moreno = Mo (juan)

Poliádicos: Expresan relaciones entre los objetos
Ejemplo:
Ti(x, y): x tiene y
Constantes: marco, moto
Marco tiene un coche = Ti (marco, coche)

Es importante tener en cuenta el orden de los argumentos, y que la aridad del mismo es fija.

CUANTIFICADORES:

Universal (∀)): Todos los elementos del dominio cumplen una determinada propiedad o relación.
Ejemplo: Todos los gatos son negros
ga(x): x es un gato
Ne(x): x es negro∀x [ga(x)→ne(x)]

Existencial (∃): Algún elemento del dominio cumple una determinada propiedad o relación.
Ejemplo: Algunos gatos son negros∃x [ga(x) ^ ne(x)]

Cuando formalizamos en el lenguaje predicativo siempre debemos preguntarnos cual es el dominio o el universo del discurso, es decir, cual es el conjunto de objetos con el que estamos trabajando, puesto que este será nuestro marco de referencia de nuestro lenguaje en un momento dado.
El dominio condiciona la formalizacion, y podemos verlo en el siguiente ejemplo:

Todos los Alumos son guapos. Dominio{Universo}
Al(x): x es alumno
G(x): x es guapo∀x [Al(x)→G(x)]

Si nuestro dominio fuese alumnos, la formalización de nuestra sentencia sería diferente.

Todos los Alumos son guapos. Dominio{Alumnos}
G(x): x es alumno y cumple la propiedad “guapo”∀x G(x)

Así como en el lenguaje proposicional, en el predicativo también existen unas reglas gramaticales, para la construcción correcta de formulas predicativas.

Fórmula predicativa bien formada (fbf):
1.- Cualquier fbf proposicional es una fbf.
2.- Si P es un predicado, entonces P (t1, t2,…tn) es una fbf, siendo ti términos.
3.- Si F es una fbf que tiene la variable xi libre, entonces:
- ∀ Xi F(X1, X2,…Xi,…Xn).
- ∃ Xi F(X1, X2,…Xi,…Xn) son fbf.
La variable xi es ligada y las xk, k¹i, libres.
4.- Sólo son fbf las obtenidas por 1, 2 y 3.

Algunos términos importantes en la cuantificación de predicados son:

Índice cuantificacional: variable adosada al cuantificador.
Prefijo cuantificacional: cuantificador e índice cuantificacional.
Matriz cuantificacional: parte de fbf afectada por el índice cuantificacional.
Alcance del cuantificador: parte de fbf donde ejerce su cuantificación.
Variable libre: no está afectada por ningún cuantificador.
Variable ligada: afectada por algún cuantificador.

Para finalizar, veamos otros ejemplos que realizamos en clase.

Marco Conceptual
Dominio{Animales}
De(x): x es delfin
Fo(x): x es foca
J(x): x es juegueton
V(x,y): x vive con y

Constantes: fli, flo, flu

·  Fli, Flo y Flu son Delfines

De(fli) ∧ De(flo) ∧ De(flu)

·  Los Delfines son juguetones

∀x [De(x) → J(x)]

·  Algunos Delfines son juguetones

∃x [De(x) ∧ J(x)]

·  Los Delfines no son juguetones

∀x [De(x) → ¬J(x)] = ∀x [¬De(x) v ¬J(x)] = ∀x ¬[De(x) ∧ J(x)] = ¬∃x [De(x) ∧ J(x)]

·  No todos los Delfines son juguetones

¬∀x [De(x) → J(x)] = ∃x [De(x) ∧ ¬J(x)]